Modulus of Continuity

定义 Definition

连续性模（连续模）：在数学分析中，用来定量描述函数的连续程度的量。常见定义是：对函数 (f)，其连续性模 (\omega_f(\delta)) 表示当自变量变化不超过 (\delta) 时，函数值最多能变化多少： [ \omega_f(\delta)=\sup_{|x-y|\le \delta}|f(x)-f(y)|. ] 它常用于刻画一致连续性、Hölder/Lipschitz 连续性等性质。（在不同语境下也可能有略微不同但等价的定义形式。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈmɑːdjələs əv ˌkɑːntəˈnjuːɪti/

例句 Examples

The modulus of continuity tells us how smoothly a function changes.
连续性模告诉我们一个函数变化得有多平滑。

Using the modulus of continuity, we can bound the error of the approximation uniformly on the interval.
利用连续性模，我们可以在整个区间上一致地界定近似误差的上界。

词源 Etymology

modulus 源自拉丁语 modulus（“小尺度/度量标准”），与“measure（测量）”的概念相关；continuity 来自拉丁语 continuitas（“连续、不间断”）。合在一起，modulus of continuity 字面意思就是“衡量连续性的尺度”，强调把“连续”这件事用一个函数或量来“量化”。

相关词 Related Words

• Continuity
• Uniform Continuity
• Lipschitz
• Holder Continuity
• Oscillation
• Supremum

文献与名著中的用例 Notable Works

• Principles of Mathematical Analysis（Walter Rudin）：在讨论一致连续性与相关估计时常引入连续性模思想。
• Real and Complex Analysis（Walter Rudin）：在实分析框架下用于刻画函数的正则性与控制振荡。
• Partial Differential Equations（Lawrence C. Evans）：在正则性估计（regularity estimates）与误差控制中常见“连续性模”表述。
• Elliptic Partial Differential Equations of Second Order（Gilbarg & Trudinger）：在椭圆方程解的连续性与更强正则性讨论中使用类似概念。